ความน่าจะเป็นและสถิติ: วิทยาศาสตร์ของความไม่แน่นอน: พื้นฐานของค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์

ค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเขียนแทนด้วย $E(X)$ หรือ $\mu_X$ เป็นตัววัดแนวโน้มกลางที่สำคัญสำหรับตัวแปรสุ่ม มันแสดงถึงค่าเฉลี่ยในระยะยาวที่ได้จากการทดลองซ้ำ ๆ โดยทางกายภาพแล้ว มันคือจุดศูนย์ถ่วงของความน่าจะเป็นกระจาย และคำนวณจากผลรวมที่มีน้ำหนักตามความน่าจะเป็นของค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้

นิยามเชิงรูปแบบ

สำหรับตัวแปรสุ่มที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เราจะนิยามค่าคาดหมายโดยอิงจากฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (PMF):

นิยาม 3.1.1

ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ค่าคาดหมายคือ: $$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$

นิยาม 3.1.2

หาก $X$ มีค่าเฉพาะ $x_1, x_2, \dots$ พร้อมความน่าจะเป็น $p_i$ แล้ว: $$E(X) = \sum_i x_i p_i$$

กฎของนักสถิติที่ไม่ตั้งใจ (LOTUS)

เพื่อหาค่าคาดหมายของตัวแปรที่เปลี่ยนรูปแบบ $g(X)$ เราไม่จำเป็นต้องหาความหนาแน่นของ $g(X)$ ก่อน

ทฤษฎีบท 3.1.1 (LOTUS)

สำหรับฟังก์ชันใด ๆ $g$ ค่าคาดหมายของ $g(X)$ คือผลรวมของค่าฟังก์ชันที่มีน้ำหนักตามความน่าจะเป็นเดิม:

$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$

คุณสมบัติหลัก

ความเป็นเส้นตรง (ทฤษฎีบท 3.1.2): $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ ซึ่งเป็นจริงแม้ว่า $X$ และ $Y$ จะขึ้นต่อกัน!
ความเพิ่มขึ้น (ทฤษฎีบท 3.1.4): หาก $X(s) \le Y(s)$ สำหรับทุกเหตุการณ์ $s$ แล้ว $E(X) \le E(Y)$
อิสระภาพ (ทฤษฎีบท 3.1.3): หาก $X$ และ $Y$ อิสระต่อกัน $E(XY) = E(X)E(Y)$

ตัวอย่าง 3.1.6: ตัวบ่งชี้

สำหรับฟังก์ชันตัวบ่งชี้ $I_A$ ซึ่ง $X=1$ หากเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้น และ $0$ ในกรณีอื่น:

$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$

คำถามที่ 1

คำนวณ $E(X)$ จากฟังก์ชันความน่าจะเป็น: $p(x) = 1/7$ เมื่อ $x = -4$, $2/7$ เมื่อ $x = 0$, และ $4/7$ เมื่อ $x = 3$

$E(X) = 8/7$

$E(X) = 1$

$E(X) = 0$

$E(X) = 11/7$

คำถามที่ 2

เริ่มต้นด้วยเหรียญหนึ่งเหรียญ คุณหมุนลูกเต๋าหกเหลี่ยมที่เท่าเทียมกัน และได้รับเพิ่มอีก 3 เหรียญ ต่อจำนวนที่ปรากฏ ถ้า $X$ คือจำนวนเหรียญทั้งหมดของคุณ ค่า $E(X)$ เท่ากับเท่าไหร่?

11.5

10.5

12.0

1.5

คำถามที่ 3

สมมุติว่าความสูงของผู้ชายเป็นแบบปกติ $N(174, 20^2)$ และของผู้หญิงเป็นแบบปกติ $N(160, 15^2)$ ค่าเฉลี่ยรวมของความสูงคู่ผู้ชาย-ผู้หญิงคือเท่าใด?

334 ซม.

167 ซม.

314 ซม.

ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์

คำถามที่ 4

ปลายหอกมีความหนา 0.1 ซม. ให้ $X$ เป็นระยะทางจากขอบด้านซ้ายของปลายหอกถึงปลายกำแพง และ $Y$ เป็นระยะทางจากขอบด้านขวาถึงปลายเดียวกัน หาก $E(X) = 214$ จงหา $E(Y)$

214.1

213.9

214.0

0.1

คำถามที่ 5

ให้ $X \sim \text{Geometric}(1/11)$ ใช้ความไม่เท่ากันของเจนเซน ค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $E(X^4)$ คือเท่าใด?

10,000

1,000

121

ท้าทาย: การแยกตัวแปรแบบลบไบนอมิอัล

การพิสูจน์โดยใช้ความเป็นเส้นตรง

สำหรับ $X \sim \text{Negative-Binomial}(r, \theta)$ เราต้องการพิสูจน์ว่า $E(X) = r(1 - \theta) / \theta$ ซึ่งสามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยมองการแจกแจงนี้เป็นผลรวมของตัวแปรที่ง่ายกว่า

คำถามที่ 1

เราจะแสดงตัวแปรสุ่มแบบลบไบนอมิอัลเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบเรขาคณิตได้อย่างไร?

การแจกแจงแบบลบไบนอมิอัลแสดงจำนวนครั้งที่ล้มเหลว ก่อนถึงครั้งที่ $r$ ที่ประสบความสำเร็จ ซึ่งเทียบเท่ากับผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบเรขาคณิตที่อิสระและเหมือนกัน $r$ ตัว คือ $X = X_1 + X_2 + \dots + X_r$ โดยที่แต่ละ $X_i \sim \text{Geometric}(\theta)$

คำถามที่ 2

ทราบว่า $E(X_i) = (1-\theta)/\theta$ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบเรขาคณิต จงหา $E(X)$ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบลบไบนอมิอัล

โดยใช้ความเป็นเส้นตรงของค่าคาดหมาย:
$$E(X) = E(X_1 + X_2 + \dots + X_r) = E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_r)$$
แทนค่าค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบเรขาคณิต:
$$E(X) = r \cdot \frac{1-\theta}{\theta}$$
นี่ยืนยันคุณสมบัตินี้โดยใช้ตรรกะของการรวมตัวแปรเบอร์นูลลี